Banca de DEFESA: Mattheus Pereira da Silva Aguiar

Uma banca de DEFESA de DOUTORADO foi cadastrada pelo programa.
DISCENTE : Mattheus Pereira da Silva Aguiar
DATA : 14/07/2023
HORA: 14:00
LOCAL: Departamento de Matemática
TÍTULO:

Splittings of profinite groups and its applications

PALAVRAS-CHAVES:

Teoria Combinatória de Grupos; grupos profinitos; grafos infinitos de grupos;
decomposição de Stallings.

PÁGINAS: 154
RESUMO:

Nessa tese estudaremos decomposições de grupos profinitos como extensões HNN e produtos livres
amalgamados. Essas construções podem ser consideradas casos particulares de um grupo fundamental de grafo de grupos, o qual denotaremos por $\Pi_1(\GA,\G)$. Dessa forma, se dado grupo profinito $G$ possui uma decomposição $G=\Pi_1(\GA,\G)$ para algum grafo profinito de grupos $(\GA,\G)$, obtemos não só propriedades do grupo $G$ mas também de grafo de grupos $(\GA,\G)$. Na primeira parte, dado um grupo abstrato $G$ que se decompõe como o grupo fundamental de um grafo infinito de grupos, construímos um grafo profinito de grupos $(\overline{\GA},\overline{\G})$ tal que $\G$ mergulha em $\overline{\G}$ e o completamento profinito de $G$ se decompõe como $\widehat{G}=\Pi_1(\overline{\GA},\overline{\G})$. Isso responde um Problema em Aberto de Ribes. Com essa construção em mãos, respondemos dois outros Problemas em Aberto de Ribes. O primeiro está relacionado com o fecho de normalizadores e generaliza o teorema principal de um artigo escrito por Ribes e Zalesski. O segundo está relacionado com a separabilidade por conjugação de subgrupo de grupos virtualmente livres, generalizando o resultado principal de um artigo escrito por Chagas e Zalesski. Nossa estratégia para resolver os problemas supracitados foi descrever o grupo fundamental profinito de um grafo de grupos na linguagem de caminhos. Essa nova definição se comporta bem quando da aplicação de limites inversos, o que facilita a interrelação entre as configurações abstrata e profinita da Teoria de Bass Serre. Continuamos nossa jornada investigando o celebrado Teorema da Decomposição de Stallings. Este estabelece que a decomposição de um subgrupo $H$ de índice finito de um grupo finitamente gerado $G$ como um produto livre amalgamado ou uma extensão HNN sobre um grupo finito implica o mesmo para $G$. A versão pro-$p$ desse resultado foi obtida por Weigel e Zalesski em 2017. Nós mostramos que, na categoria de grupos pro-$p$, os teoremas de decomposição valem além de cisões sobre grupos finitos. Se $G$ é um grupo pro-$p$ finitamente gerado que possui um subgrupo normal aberto $H$ que se decompões como $H=\Pi_1(\HA,\D)$, e supomos que classes de conjugação de grupos de vértices são $G$-invariantes, então $G$ também se decompõe como $G=\Pi_1(\GA,\G)$. Se $H$ é um produto pro-$p$ livre não trivial obtemos, como um caso particular, o Teorema de Weigel-Zalesski supracitado. A principal ferramenta por trás da demonstração é nosso Teorema da Limitação, que estabelece que $|E(\G)| \leq |E(\D)|$. Com essa construção em mãos, fornecemos três aplicações. Primeiramente mostramos que se $G$ é um grupo pro-$p$ finitamente gerado que possui um subgrupo normal aberto $H$ agindo sobre uma árvore pro-$p$ $T$, com $\{H_v \mid v \in V(T)\}$ sendo $G$-invariante, então $G$ se decompõe como $G=\Pi_1(\GA,\G)$. Também mostramos que acessibilidade generalizada de grupos pro-$p$ finitamente gerados é fechada para comensurabilidade. Finalizamos a tese mostrando que nosso Teorema 11 também vale para o exemplo de grupo pro-$p$ inacessível dado por Wilkes.

MEMBROS DA BANCA:
Externo à Instituição - JOHN WILLIAM MACQUARRIE - UFMG
Presidente - 1285938 - PAVEL ZALESSKI
Interna - 1177682 - SHEILA CAMPOS CHAGAS
Externo à Instituição - SLOBODAN TANUSHEVSKI - UFF
Interno - 2554004 - THEO ALLAN DARN ZAPATA