Ordem média, soma de ordens, grupos solúveis, grupos simples.

\noindent Seja $o(G)$ a ordem média dos elementos de um grupo finito G definida como

$$

o(G)=\frac{\psi(G)}{|G|},

$$

em que $\psi(G)$ é soma das ordens de todos os elementos de $G$. Uma conjectura proposta por A. Jaikin-Zapirain consiste em: se $N$ é um subgrupo normal de $G$, então $o(G) \ge o(N)^{1/2}$. Dito isto, E. I. Khukhro, A. Moreto e M. Zarrin deram uma resposta negativa para esta conjectura. Desta forma, temos como objetivo apresentar a construção dos contraexemplos fornecida por eles. Além disso, também trataremos sobre as implicações desta conjectura, sobretudo um critério de solubilidade que envolve o conceito de ordem média. O critério diz o seguinte: Se $o(G)<o(A_5)$, então G é solúvel. Este resultado foi provado por M. Herzog, P. Longobardi e M. Maj. Por fim, generalizamos a desigualdade $o(G) \ge o(Z(G))$, demonstrada por A. Jaikin-Zapirain, e reproduzimos a mesma ideia para a desigualdade $\alpha(G) \le \alpha(Z(G))$, em que $\alpha(G)$ é uma função amplamente investigada por M. Garonzi e I. Lima. \\

\noindent {\bf Palavras-chave}: Ordem média, soma de ordens, grupos solúveis, grupos simples.